Старая и новая классификации математики. Понятие структуры и связанные с ним другие понятия заняли в современной математике центральное место как с чисто "технической", так и с философской и методологической точек зрения. Общие теоремы основных типов структур служат чрезвычайно мощными инструментами математической "техники". Всякий раз, когда математику удается показать, что изучаемые им объекты удовлетворяют аксиомам определенного типа структур, он тем самым доказывает, что все теоремы теории структуры этого типа применимы к конкретным объектам, изучением которых он занимается (без этих общих теорем он, весьма вероятно, упустил бы из виду конкретные их варианты или был бы вынужден обременять свои рассуждения излишними допущениями). Аналогично, если доказано, что две структуры изоморфны, то число теорем немедленно удваивается: каждая теорема, доказанная для одной из структур, сразу же дает соответствующую теорему для другой. Неудивительно поэтому, что существуют весьма сложные и трудные теории, например "теория поля классов" в теории чисел, главная цель которых - доказательство изоморфизма структур.

С философской точки зрения, широкое использование структур и изоморфизмов демонстрирует основную особенность современной математики - то обстоятельство, что "природа" математических "объектов" не имеет особого значения, значимы лишь отношения между объектами (разновидность принципа неполноты знания).

Наконец, нельзя не упомянуть о том, что понятие структуры позволило по-новому классифицировать разделы математики. До середины 19 в. они различались в соответствии с предметом исследования. Арифметика (или теория чисел) имела дело с целыми числами, геометрия - с прямыми, углами, многоугольниками, окружностями, площадями и т.д. Алгебра занималась почти исключительно методами решения численных уравнений или систем уравнений, аналитическая геометрия разрабатывала методы преобразования геометрических задач в эквивалентные алгебраические задачи. Круг интересов еще одного важнейшего раздела математики, получившего название "математический анализ", включал в основном дифференциальное и интегральное исчисления и различные их приложения к геометрии, алгебре и даже теории чисел. Количество этих приложений увеличивалось, возрастало и их значение, что привело к дроблению математического анализа на подразделы: теорию функций, дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных), дифференциальную геометрию, вариационное исчисление и т.д.

Для многих современных математиков такой подход напоминает историю классификации животных: когда-то и морская черепаха, и тунец считались рыбами, поскольку обитали в воде и имели сходные черты. Современный подход научил нас видеть не только то, что лежит на поверхности, но и заглядывать глубже и пытаться распознавать фундаментальные структуры, лежащие за обманчивой внешностью математических объектов. С этой точки зрения, значение имеет исследование наиболее важных типов структур. Вряд ли в нашем распоряжении имеется полный и окончательный список этих типов; некоторые из них были открыты в последние 20 лет, и есть все основания ожидать в будущем новых открытий. Однако мы уже имеем представление о многих основных "абстрактных" типах структур. (Они "абстрактны" по сравнению с "классическими" объектами математики, хотя и те вряд ли можно назвать "конкретными"; дело скорее в степени абстракции.)

Известные структуры можно классифицировать по входящим в них отношениям или по их сложности. С одной стороны, существует обширный блок "алгебраических" структур, частным случаем которых является, например, групповая структура; среди других алгебраических структур назовем кольца и поля (см. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ). Раздел математики, занимающийся изучением алгебраических структур, получил название "современной алгебры" или "абстрактной алгебры", в отличие от обычной, или классической, алгебры. Значительная часть евклидовой геометрии, неевклидова геометрия и аналитическая геометрия также вошли в состав новой алгебры.

На том же уровне общности находятся два других блока структур. Один из них, называемый общей топологией, включает в себя теории типов структур, частным случаем которых является структура метрического пространства (см. ТОПОЛОГИЯ; АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА). Третий блок составляют теории структур порядка и их расширений. "Расширение" структуры заключается в добавлении к уже имеющимся аксиомам новых. Например, если к аксиомам группы добавить в качестве четвертой аксиомы свойство коммутативности a*b = b*a, то мы получим структуру коммутативной (или абелевой) группы.

Из этих трех блоков два последних до недавнего времени находились в сравнительно стабильном состоянии, а блок "современная алгебра" стремительно разрастался, подчас в неожиданных направлениях (например, получила развитие целая отрасль, получившая название "гомологической алгебры"). За пределами т.н. "чистых" типов структур лежит другой уровень - "смешанных" структур, например алгебраических и топологических, вместе с новыми связывающими их аксиомами. Было изучено множество таких комбинаций, большинство из которых распадаются на два обширных блока - "топологическую алгебру" и "алгебраическую топологию".

Вместе взятые, эти блоки составляют весьма солидную по объему "абстрактную" область науки. Многие математики надеются с помощью новых средств лучше понять классические теории и решить трудные проблемы. Действительно, при соответствующем уровне абстрагирования и обобщения задачи древних могут предстать в новом свете, что позволит найти их решения. Огромные фрагменты классического материала оказались под властью новой математики и были преобразованы или слились с другими теориями. Остаются обширные области, в которых современные методы проникли не столь глубоко. Примерами могут служить теория дифференциальных уравнений и значительная часть теории чисел. Весьма вероятно, что существенный прогресс в этих областях будет достигнут после того, как будут открыты и тщательно изучены новые типы структур.